Question

设函数f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，f(0)=

1

2

，数列{a_n}满足f（1）=n²a_n（n∈N^*），则数列{a_n}的通项a_n等于

 

．

Answer 1

分析：由f（0）=

1

2

，得到a1=

1

2

，由f（1）=n²a_n得到s_n=n2a_n，这样数列变为已知首项和前n项和求数列的通项的问题，仿写一个等式，两式相减，合并同类项，约分化简，得到数列连续两项之间关系，叠乘得到结果．

解答：解：∵f(0)=

1

2

，
∴a1=

1

2

，
∵f（1）=n²an，
∴s_n=n²a_n，
∴s_n+1=（n+1）²a_n+1，
两式相减得：a_n+1=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴

an+1

an

=

n

n+2

，
用叠乘得到an=

1

(n+1)n

故答案为：an=

1

(n+1)n

点评：在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决．