Question

（理）设函数f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n），其中a_i、α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R．
下列关于函数f（x）的性质判断正确的命题的序号是

①②③④

．
①若f(0)=f(

π

2

)=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f(

π

2

)=0，则函数f（x）为偶函数；
④当f2(0)+f2(

π

2

)≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer 1

分析：对于②，先由f（0）=0，得出a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，要判断函数为奇函数，只需验证f（-x）+f（x）=0；
对于③，先由f(

π

2

)=0，得出-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，要判断函数为偶函数，只需验证f（-x）-f（x）=0；
对于①：由①知函数f（x）为奇函数，由②知函数为偶函数，从而f（x）=0；
对于④：当f2(0)+f2(

π

2

)≠0时，由f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），故可得结论．

解答：解：对于②：若f（0）=0，则f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）=cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，∴函数f（x）为奇函数；
对于③：若f(

π

2

)=0，则f（

π

2

）=a₁•sin（

π

2

+α₁）+a₂•sin（

π

2

+α₂）+…+a_n•sin（

π

2

+α_n）=-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）=sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，∴函数f（x）为偶函数；
对于①：若f(0)=f(

π

2

)=0，则函数f（x）为奇函数，也为偶函数，∴f（x）=0对任意实数x恒成立；
对于④：当f2(0)+f2(

π

2

)≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+
（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），∴可得x₁-x₂=kπ（k∈Z）．
故答案为：①②③④．

点评：本题的考点是数列与三角函数的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，解题的关键是一一判断．