Question

为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆：计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）；
（2）若该市计划5年内完成全部更换，求a的最小值．

Answer 1

解：（1）设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，
依题意，{a_n}是首项为128，公比为1+50%=1.5的等比数列，{b_n}是首项为400，公差为a的等差数列，
∴{a_n}的前n项和S_n=256（1.5ⁿ-1），{b_n}的前n项和T_n=400n+a
所以经过n年，该市更换的公交车总数为：S（n）=S_n+T_n=256（1.5ⁿ-1）+400n+a；
（2）若计划5年内完成全部更换，所以S（7）≥5000
所以256（1.5ⁿ-1）+400n+a=256（1.5⁵-1）+400×5+10a≥5000
因为a∈N^*，所以a≥132
所以a的最小值为132．
分析：（1）设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a_n}是首项为128，公比为1+50%=1.5的等比数列，{b_n}是首项为400，公差为a的等差数列，利用数列的求和公式，可求经过n年，该市被更换的公交车总数；
（2）利用（1）中的S（n），建立不等式，即可求得a的最小值．
点评：本题考查数列的综合应用，考查数列模型的建立，考查解不等式，解题时要认真审题，挖掘数量间的相互关系，合理地建立方程，仔细求解．