Question

14．将棱长为2的正四面体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}π}{27}$
• B． $\sqrt{6}$π
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• D． $\frac{4}{3}$π

Answer 1

分析 由题意，所求球为正四面体ABCD的内切球，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，说明OE是内切球的半径，运用勾股定理计算，即可得到球的体积．

解答 解：由题意，所求球为正四面体ABCD的内切球，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，
正四面体的棱长为2，
所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，
在等边三角形BCD中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
AE=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$-R）²+$\frac{4}{3}$
解得，R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
则其内切球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
内切球的体积为$\frac{4}{3}π$×（$\frac{\sqrt{6}}{6}$）³=$\frac{\sqrt{6}}{27}π$．
故选：A．

点评 本题考查正四面体的内切球半径的求法，内切球的半径是正四面体的高的$\frac{1}{4}$，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．