Question

焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是
（ ）
A．（1，3）
B．（1，3]
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

Answer 1

【答案】分析：求出左焦点F，右顶点的坐标，求得线段FA的中点的坐标，再利用线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，列出不等式，即可求出离心率的范围．
解答：解：设双曲线的方程为 （a＞0，b＞0），则左焦点F（-c，0），右顶点为A（a，0），
线段FA的中点坐标为M（，0）
∵线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，
∴≤-a，如图．
则a-c≤-2a，∴3a≤c，
∴e≥3．
故选D．
点评：本题考查双曲线的准线，考查双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．