Question

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（）=．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-，]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=•可求得f（x）=sin（2ωx+）+，f（）=，可求得sin（+）=0，从而可求得ω；
（Ⅱ）依题意，转化为将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（+）+的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，从而得到g（x）的解析式，利用余弦函数的性质可求得其在[-，]上的值域．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=•=sinωxcosωx+cos²ωx=sin2ωx+cos2ωx+
=sin（2ωx+）+，…3分
∵f（）=，则sin（+）=0，
∴+=kπ，k∈Z，
∴ω=k-，k∈Z，又0＜ω＜2，
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由题意知，将函数y=g（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=f（x）的图象?将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（+）+的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，因此g（x）=sin（+）+=cos+，…9分
∵∈[-，]，
∴≤cos≤1，
故g（x）在[-，]上的值域为[，1+]…12分
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查余弦函数的性质，是三角函数中的综合题，属于难题．