Question

（本小题满分14分）已知幂函数,且在上单调递增.

（1）求实数的值,并写出相应的函数的解析式；

（2）若在区间上不单调,求实数的取值范围；

（3）试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1） （2） （3）

【解析】

试题分析：（1）因为在上单调递增，所以有（2-k）（1+k）>0，再结合就搞定.（2）因为在不单调，说明对称轴在上.

（3）g（x）是开口向下的二次函数，我们只需要讨论上的单调性，在内求出最大最小值，即可求解q.

试题解析：（1）由题意知,解得:.

又 ∴或,分别代入原函数,得.

（2）由已知得.

要使函数不单调，则，则.

（3）由已知,.

假设存在这样的正数符合题意,

则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,因而,函数在上的最小值只能在或处取得,又,

从而必有,解得.此时,,其对称轴,

∴在上的最大值为,符合题意.

∴存在,使函数在区间上的值域为.

考点：二次函数在闭区间的单调性.