Question

14．已知l-2i是关于x的方程x²+a=bx的一个根．
（1）求a，b的值；
（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，求复数（m-a）+（n-b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得x=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$=1-2i，利用复数定义列出方程组，能求出a，b的值，由此能求出结果．
（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，由复数（m-a）+（n-b）i即复数（m-5）+（n-2）i在复平面内对应的点位于第二象限，得到$\left\{\begin{array}{l}{m＜5}\\{n＞2}\end{array}\right.$，由此利用列举法能求出复数（m-a）+（n-b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．

解答 解：（1）∵l-2i是关于x的方程x²+a=bx的一个根，
∴x=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$=1-2i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}=1}\\{-\frac{\sqrt{4a-{b}^{2}}}{2}i=-2i}\end{array}\right.$，
解得a=5，b=2．
（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，
基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，
∵复数（m-a）+（n-b）i即复数（m-5）+（n-2）i在复平面内对应的点位于第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-5＜0}\\{n-2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜5}\\{n＞2}\end{array}\right.$，
∴复数（m-a）+（n-b）i在复平面内对应的点位于第二象限包含的基本事件（m，n）有：
（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），共16个，
∴复数（m-a）+（n-b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率p=$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$．

点评 本题考查复数的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式和列举法的合理运用．