Question

已知两个定点A,B的坐标分别为（-1，0）和（1，0），动点P满足=（O为坐标原点）.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过点C(0,1)的直线l与轨迹E在x轴上方部分交于M,N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于D点，求D点横坐标的取值范围.

Answer 1

解:(1)设P(x,y),则=(x+1,y),=(x-1,y),∵=,

∴(x+1)²=(x-1)²+y²,即y²=4x.动点P的轨迹E的方程是y²=4x.

(2)设直线l的方程为x=k(y-1),代入轨迹E的方程y²=4x,整理:y²-4ky+4k=0.

由题意知,(4k)²-4×4k＞0且4k＞0,解得k＞1.

由根与系数的关系可得MN的中点坐标为(k(2k-1),2k),

∴线段MN垂直平分线方程为:y-2k=-k[x-k(2k-1)],

令y=0,得D点的横坐标x ₀=2k²-k+2,

∵k＞1,∴x ₀＞3,即为所求.