Question

在平面直角坐标系中，已知两个定点A(-3，0)和B(3，0)．动点M在x轴上的射影是H（H随M移动而移动），若对于每个动点M总存在相应的点P满足，且。
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设过定点D(2，0)的直线l（直线l与x轴不重合）交曲线C于O，R两点，求证：直线AQ与直线RB交点总在某直线l₀上．

Answer 1

解：(Ⅰ)设M（x，y），则，
，
由，得，
即轨迹C的方程为。
(Ⅱ)若直线l的斜率为k时，直线QR：y=k（x-2），
设，
联立，得，
即，
观察，得，
即，
直线AQ：，
直线RB：，
联立，
解得：，所以，l₀：；
若l⊥x轴，不妨得，
则此时，直线AQ：，
直线RB：，
联立，解得：，
即交点也在直线l₀：上。