Question

在平面直角坐标系中，以点（1，0）为圆心，r为半径作圆，依次与抛物线y²=x交于A、B、C、D四点，若AC与BD的交点F恰好为抛物线的焦点，则r=

 

．

Answer 1

分析：根据抛物线方程可求得焦点坐标，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据圆的方程，可知x₁x₂=1-r²代入答案可得．

解答：解：易知焦点F坐标（

1

4

，0），
设过F点直线方程为y=k（x-

1

4

）
代入抛物线方程，得 k²（x-

1

4

）²=4x．
化简后为：k²x²-（

1

2

k²+）x+

1

16

k²=0．
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则有x₁x₂=

1

16

，
又以点（1，0）为圆心，r为半径圆的方程为（x-1）²+y²-r²=0代入抛物线方程，得：x²-x+1-r²=0．
则有x₁x₂=1-r²，
∴1-r²=

1

16

，∴r=

15

4

，
故答案为：

15

4

．

点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用方程思想来解决．