Question

【题目】如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2 ，如图2．
（1）求证：FA∥平面BC'D；
（2）求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC=CD，E为BD的中点，∴C′E⊥BD，

又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，

∴C′E⊥ABD，

∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，而C′E平面BC'D，FA平面BC'D，

∴FA∥平面BC'D

（2）解：以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC′所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则B（1，0，0），A（0， ，0），D（﹣1，0，0），F（0，﹣ ， ），

C′（0，0， ），

∴ ， ．

设平面FBC′的一个法向量为 ，

则 ，取z=1，则 ．

又平面ABD的一个法向量为 ．

∴cos＜ ＞= = ．

则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为

（3）解：线段AD上不存点M，使得C'M⊥平面FBC．

假设在线段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，

设 ，则（x，y ，z）=λ（﹣1， ，0）=（﹣λ， ，0），

∴x=﹣λ，y= ，z=0．

则 =（﹣λ， ，﹣ ）．

由 ，得 ，即 错误．

∴线段AD上不存点M，使得C'M⊥平面FBC．

【解析】（1）由题意可得C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，再由面面垂直的性质可得C′E⊥ABD，结合已知可得FA∥C′E，由线面平行的判定可得FA∥平面BC'D；（2）以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC′所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求得平面FBC′与平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；（3）假设在线段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，由 求得M的坐标，得到 ，由 加以判断．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．