Question

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足cn=

1

log2bn+3

（n∈N^*），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求证，对一切n∈N^*不等式Tn＜

1

4

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=4a_n+1可得n≥2时，S_n=4a_n-1+1，两式作差即可得一递推式，根据b_n=a_n+1-2a_n及等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，进而求得c_n，利用裂项相消法可求得T_n，根据T_n表达式即可证明结论；

解答：证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
当n≥2时，S_n=4a_n-1+1．        ②
①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1．    所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．
因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4． 所以b₁=a₂-2a₁=2．
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

（n∈N^*）．
T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

＜

1

4

．

点评：本题考查数列与不等式的综合、等比数列的判定及数列求和，若{a_n}为等差数列，公差d≠0，则{

1

anan+1

}的前n项和可用列项相消法，其中

1

anan+1

=

1

d

（

1

an

-

1

an+1

）．