Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1+sinx）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求x的取值集合．
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若对任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式tanθ-$\frac{5}{4}$＜f（x）＜tanθ+2+$\sqrt{3}$恒成立，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐标表示得到（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）=0，进一步求得sinx=cosx或sinx+cosx=-1．则角x的取值集合可求；
（2）由向量数量积的坐标运算求得f（x），换元求出f（x）的值域，再由不等式tanθ-$\frac{5}{4}$＜f（x）＜tanθ+2+$\sqrt{3}$恒成立求得θ的取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，1+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1+sinx），
由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得sinx（1+sinx）-cosx（1+cosx）=0，
即sinx-cosx+sin²x-cos²x=0，
∴（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）=0．
则sinx=cosx或sinx+cosx=-1．
当sinx=cosx时，x=k$π+\frac{π}{4}，k∈Z$；
当sinx+cosx=-1时，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）=-1$，$sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
x+$\frac{π}{4}$=2kπ$-\frac{3π}{4}$，k∈Z或$x+\frac{π}{4}=2kπ-\frac{π}{4}，k∈Z$．
∴x=2kπ-π，k∈Z或x=2k$π-\frac{π}{2}，k∈Z$．
∴x的取值集合为{x|x=$kπ+\frac{π}{4}$或x=2kπ-π或x=2k$π-\frac{π}{2}，k∈Z$ }；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinxcosx+（1+sinx）（1+cosx）=1+sinx+cosx+2sinxcosx，
令t=sinx+cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴t∈[-1，1]，
由t=sinx+cosx得，2sinxcosx=t²-1，
∴f（x）=1+t+t²-1=t²+t∈[$-\frac{1}{4}，2$]．
则由tanθ-$\frac{5}{4}$＜f（x）＜tanθ+2+$\sqrt{3}$恒成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{tanθ-\frac{5}{4}＜-\frac{1}{4}}\\{tanθ+2+\sqrt{3}＞2}\end{array}\right.$，解得：$kπ-\frac{π}{3}＜θ＜kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$．
∴θ的取值范围是（k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{4}$），k∈Z．

点评 本题考查平面向量共线的坐标表示，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角函数的化简与求值，训练了已知三角函数值求角，是中档题．