Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1．
（1）求函数f（x）的最小值及f（x）取到最小值时x的集合；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值求得函数f（x）的最小值及f（x）取到最小值时x的集合．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的增区间，再结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，近一步确定函数f（x）的增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
故当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z时，函数f（x）取得最小值．
（2）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数f（x）的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值、正弦函数的值域，属于基础题．