Question

18．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，满足S_n+S_n-1=3a_n²+2（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过S_n+S_n-1=3a_n²+2与S_n+1+S_n=3a_n+1²+2作差可知a_n+1+a_n=3（a_n+1²-a_n²）=3（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n），进而数列{a_n}是以1为首项、$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵S_n+S_n-1=3a_n²+2（n≥2），
∴S_n+1+S_n=3a_n+1²+2（n≥2），
两式相减得：a_n+1+a_n=3（a_n+1²-a_n²）=3（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴3（a_n+1-a_n）=1，即a_n+1-a_n=$\frac{1}{3}$，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
∴a_n=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．