Question

13．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象上一个最低点是（-6，-$\sqrt{2}$），由这个最低点到相邻的最高点的曲线与x轴的交点是（-2，0），求函数解析式．

Answer 1

分析 根据函数的最低点求出A，根据最低点和x轴的交点得函数的周期T，利用周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω，然后求φ即可．

解答 解：∵f（x）的图象上一个最低点是（-6，-$\sqrt{2}$），
∴A=$\sqrt{2}$，
∵这个最低点到相邻的最高点的曲线与x轴的交点是（-2，0），
∴$\frac{T}{4}$=-2-（-6）=6-2=4，
∴T=16，由周期公式 $T=\frac{2π}{ω}$=16，可得ω=$\frac{π}{8}$，
则y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
由函数图象过（-6，-$\sqrt{2}$），
代入可得$\sqrt{2}$sin（$-\frac{6π}{8}$+φ）=$-\sqrt{2}$，
即sin（$-\frac{3π}{4}$+φ）=-1，
即$-\frac{3π}{4}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{4}$+2kπ，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．

点评 本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，其步骤：由函数的最值求解A；由函数的周期求解ω；再把函数所过的一点（一般用最值点）代入可求φ，从而可求函数的解析式．