Question

已知a＞0,函数f(x)=ax-bx²,

(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2b;

(2)当b＞1时，证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.

Answer 1

分析：对任意x∈R都有f(x)≤1,即f(x)的最大值不大于1，从而转化为求f(x)的最值.对任意x∈［0,1］,要证|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2,只需证x∈［0,1］，函数f(x)的值域是［-1,1］的子集时，a、b满足的关系是b-1≤a≤2和当b-1≤a≤2时，|f(x)|≤1.

证明：(1)∵b＞0,

f(x)=-b(x-)²+≤,

    由题意得≤1，∴a²≤4b,即a≤2.

(2)对任意x∈［0,1］,b＞1,a＞0,

    必要性：

    由|f(x)|≤1得-1≤f(x)≤1,

    又f(x)=-b(x-)²+,

∴∴

∴b-1≤a≤2.

    充分性：

    当a≤2时，≤1,即f(x)≤1;

    当a≥b-1时，ax-x²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1，即f(x)≥-1.

∴b-1≤a≤2时，|f(x)|≤1.

    综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.