Question

设各项为正数的数列的前和为,且满足:.等比数列满足：.
（Ⅰ）求数列,的通项公式;
（Ⅱ）设，求数列的前项的和；
（Ⅲ）证明:对一切正整数,有.

Answer 1

（1），；（2）；（3）证明略.

解析试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列
的前项的和1时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论.
试题解析：当时，即，又，，即
当时，，又，
当时，
又
由，得

（1）
（2）
得
.............................................9分
（Ⅲ）当时



.....................14分
考点：（1）求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题.