Question

如图所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图所示的三棱柱ABC－A₁B₁C₁．

(1)求证：AB⊥平面BCC₁B₁；

(2)求四棱锥A－BCQP的体积；

(3)求平面PQA与平面BCA所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在正方形中，因为， 　　所以三棱柱的底面三角形的边． 　　因为，， 　　所以，所以． 　　因为四边形为正方形，， 　　所以，而， 　　所以平面．　4分 　　(2)因为平面，所以为四棱锥的高． 　　因为四边形为直角梯形，且，， 　　所以梯形的面积为． 　　所以四棱锥的体积．　8分 　　(3)由(1)(2)可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 　　则，，，，， 　　所以，， 　　设平面的一个法向量为． 　　则，即． 　　令，则．所以． 　　显然平面的一个法向量为． 　　设平面与平面所成锐二面角为， 　　则． 　　所以平面与平面所成角的余弦值为．　12分