Question

若定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos²x+asinx-2）＜3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过令x₁=x₂=0，即可得到f（0）=1；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x₁＜x₂∈R，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小即可知道增减性．
（3）已知f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，则f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式f（cos²x+asinx-2）＜3，得f（cos²x+asinx-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函数，得到cos²x+asinx-2＜2，利用换元法转化函数，通过函数的对称轴的讨论，利用函数的最小值大于0，求出a的范围即可．

解答：解：（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，
令x₁=x₂=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
（2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）-[f（x₁）-1]=
f（x₂）-f（x₁）+1．
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）+1＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（cos²x+asinx-2）＜3，得f（cos²x+asinx-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函数，∴cos²x+asinx-2＜2，
⇒cos²x-asinx-4＜0．⇒sin²x-asinx+3＞0．令t=sinx∈[-1，1]，则g（t）=t²-at+3=（t-

a

2

）²-

a2

4

+3．
故只需g（t）_min＞0．
当

a

2

≤-1即a≤-2时，g（t）_min=g（-1）=a+4＞0，⇒-4＜a≤-2．
当-1＜

a

2

＜1即-2＜a＜2时，g（t）_min=g（

a

2

）=-

a2

4

+3＞0，⇒-2＜a＜2．
当

a

2

≥1即a≥2时，g（t）_min=g（1）=-a+4＞0，⇒2≤a＜4．
综上所述，实数a的取值范围：（-4，4）．

点评：考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力，灵活运用题中已知条件的能力，考查分类讨论思想的应用．