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若定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)上是增函数.
(1)求证:f(x)在(-∞,0]上也是增函数;
(2)对任意θ∈R,不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)>0恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)直接利用函数单调性的定义,判断f(x)在(-∞,0]上也是增函数;
(2)利用(1)函数的单调性,转化不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)>0,为cos2θ-3>-2m+sinθ?m>
-cos2θ+sinθ+3
2
,然后表达式的最大值,即可求实数m的取值范围.
解答:解:(1)设x1<x2≤0,则-x1>-x2≥0.
∵f (x)在[0,+∞)上是增函数,
∴f (-x1)>f (-x2).…(2分)
∵f(x)为奇函数,
∴f (-x1)=-f (x1),f (-x2)=-f (x2).…(2分)
于是-f (x1)>-f (x2),即f (x1)<f (x2).
所以f (x)在(-∞,0]上也是增函数.…(2分)
(2)由(1)知,函数f (x)在(-∞,+∞)上是增函数.…(1分)
∵f (x)为奇函数,
∴f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)>0
?f(cos2θ-3)>-f(2m-sinθ)
?f(cos2θ-3)>f(-2m+sinθ)…(2分)
由(1)知f (x)在(-∞,+∞)上是增函数,
f(cos2θ-3)>f(-2m+sinθ)?cos2θ-3>-2m+sinθ?m>
-cos2θ+sinθ+3
2
?m>sin2θ+
1
2
sinθ+1=(sinθ+
1
4
)2+
15
16
.…(3分)
∵θ∈R,∴当sinθ=1时,(sinθ+
1
4
)2+
15
16
取得最大值
5
2

∵不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)>0恒成立,
∴故实数m的取值范围是(
5
2
,  +∞)
. …(2分)
点评:本题考查函数的单调性的判断以及单调性的应用,函数恒成立问题的应用,二倍角的余弦函数,考查转化思想以及计算能力.
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①若函数f(x)是f(x)=x2(x∈R),则f(x)一定是单函数;
②若f(x)为单函数,x1、x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
③若定义在R上的函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数;
④若函数f(x)是周期函数,则f(x)一定不是单函数;
⑤若函数f(x)是奇函数,则f(x)一定是单函数.
其中的真命题的序号是
②④
②④

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(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,不等式f(cos2x+asinx-2)<3对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围.

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A、5B、4C、3D、2

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