Question

（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P－ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O为AC的中点。

（Ⅰ）求证：BO⊥PA；

（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在等边△ABC中BO⊥AC，BO=，在直角△PAC中PO=2，在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²所以BO⊥PO所以BO⊥平面PAC所以BO⊥PA（Ⅱ）线段AC上存在点Q， 满足使得△PQB为直角三角形

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：如图，连结PO，

在等边△ABC中，因为O是AC的中点，且AC=4，

所以BO⊥AC，BO=。

在直角△PAC中，因为O是斜边AC的中点，且AC=4，

所以PO=2，

在△PBO中，由PB=4，得PB²=PO²+BO²，

所以BO⊥PO。    3分

又因为AC∩PO=O，AC平面PAC，PO平面PAC，

所以BO⊥平面PAC，  5分

又因为PA平面PAC，

所以BO⊥PA。         7分

（Ⅱ）答：线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形。

具体过程如下：

如图，过P作PM⊥AC于点M，连结BM，

因为BO⊥平面PAC，

所以BO⊥PM。

又因为BO∩AC=O，BO平面ABC，AC平面ABC，

所以PM⊥平面ABC，                                                10分

所以PM⊥BM，即△PMB为直角三角形。

故当点Q与点M重合时，△PQB为直角三角形。                            12分

在直角△PAC中，由∠APC=90°，AC=2PA=4，

得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），

所以当时，△PQB为直角三角形。                    14分

考点：线线垂直线面垂直的判定和性质

点评：线线垂直与线面垂直之间可以互为条件结论，本题主要利用两者间的互相推出关系证明计算