Question

数列{a_n}的前n项和为Sn，且Sn=

n2+3n

2

．
（I）（求{a_n}的通项公式；
（II）若数列{c_n}满足cn=

an，n为奇数 2n，n为偶数

，且{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）已知前n项和公式求通项公式，二者的关系是a_n=

s1   (n=1) sn-sn-1   (n≥2)

，再验证n=1时是否成立．
（II）由（I）知，数列{a_n}是等差数列，求T_n时用等差数列的求和公式求奇数项和，用等比数列的求和公式求偶数项和，最后加在一起．应分两种情况求解，注意项数．

解答：解：（I）∵s_n=

n2+3n

2

∴n≥2时，an=sn-sn-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1
∵n=1时，a₁=s₁=2
又∵a₁=S₁=2也满足上式，∴a_n=n+1（n∈N^*）
（II）∵cn=

n+1   n为奇数 2n     n为偶数

∴此数列的奇数项是以c₁=2为首项，以d=2为公差的等差数列，
偶数项是以c₂=4为首项，以q=4为公比的等比数列；
①当n为偶数时，奇数项和偶数项都是

n

2

项
∴T_n=（c₁+c₃+c_n-1）+（c₂+c₄++c_n）=

n

2

×2+

n 2 ( n 2 -1)

2

× 2+

4( 1-4 n 2 )

1-4

=n+

n

2

（

n

2

-1）+

4(2n-1)

3

=

n(n+2)

4

+

4

3

(2n-1)
②当n为奇数时，奇数项是

n+1

2

项，偶数项是

n-1

2

项；
∴Tn=

n+1

2

×2+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

× 2+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

(n+1)(n+3)

4

+

4

3

(2n-1-1)
综上，Tn=

n(n+2) 4 + 4 3 (2n-1)         n为偶数 (n+1)(n+3) 4 + 4 3 (2n-1-1)  n为奇数

．

点评：本题是综合性的题目，考查了前项和公式与通项公式的之间的关系，必须验证n=1是否成立，求和时清楚首项、项数，两个求和公式的运用，结果应用分段函数来表示，体现出数列是一种特殊的函数．