Question

如图所示，水渠横断面为等腰梯形．

(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角φ多大时，水流的横断面积为最大？

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)依题意，侧边BC＝h·(sinφ)－1，设下底AB＝x， 则上底CD＝x＋2hcotφ， 　　又S＝(2x＋2hcotφ)h＝(x＋hcotφ)h， 　　∴下底x＝－hcotφ． 　　∴横断面被水浸湿周长l＝(0＜φ＜)． 　　∴＝． 　　令＝0，解得cosφ＝，∴φ＝． 　　根据实际问题的意义，当φ＝时，水渠横断面被水浸湿的周长最小． 　　(2)设水渠高为h，水流横断面积为S，则 　　S＝(a＋a＋2acosφ)·h＝(2a＋2acosφ)·acosφ 　　＝a2(1＋cosφ)·sinφ(0＜φ＜)． 　　∴＝a2[－sin2φ＋(1＋cosφ)cosφ]＝a2(2cosφ－1)(cosφ＋1)． 　　令＝0，得cosφ＝或cosφ＝－1(舍)， 　　故在(0，)内，当φ＝时，水流横断面积最大， 　　最大值为S＝a2(1＋cos)sin＝． 　　思路解析：分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．