Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

，

a

与

b

的夹角为θ．
（1）若

a

∥

b

，求

a

•

b

；
（2）若

a

-

b

与

a

垂直，求θ．

Answer 1

分析：（1）平行向量的夹角为0或π，由此进行讨论，并结合向量数量积公式即可算出

a

•

b

的值；
（2）垂直的两个向量的数量积为0，由此列式并结合题中模的数据可得1-

2

cosθ=0，解之得cosθ=

2

2

．最后根据向量夹角范围，结合特殊角的余弦值可得角θ的大小．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，∴a与b的夹角θ=0或π，
∴当θ=0时，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

×cos0=

2

；
当θ=π时，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

×cosπ=-

2

综上所述，得

a

•

b

=±

2

（2）∵（

a

-

b

）⊥

a

，
∴（

a

-

b

）•

a

=0，即

a

²-

a

•

b

=0，
∵

a

²=|

a

|²=1，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

cosθ=

2

cosθ
∴1-

2

cosθ=0，解之得cosθ=

2

2

．
∵向量

a

、

b

的夹角θ的范围是[0，π]，
∴θ=

π

4

．

点评：本题给出向量

a

、

b

的模，在已知

a

-

b

与

a

垂直的情况下求它们的夹角θ的大小．着重考查了平面向量数量积运算公式、向量模的性质和向量的夹角求法等知识，属于基础题．