Question

18．满足条件AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC的三角形ABC面积的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．

解答 解：设BC=x，则AC=$\sqrt{3}$x，
根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB
=$\frac{1}{2}$×2x$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，
根据余弦定理得cosB=$\frac{4+{x}^{2}-3{x}^{2}}{4x}$=$\frac{2-{x}^{2}}{2x}$，
代入上式得S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{-（{x}^{2}-4）^{2}+12}$，
由三角形三边关系有$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+x＞2}\\{x+2＞\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\sqrt{3}$-1＜x＜$\sqrt{3}$+1．
故当x=2时，S_△ABC取得最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．