Question

如图，已知∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ．

(1)求证：平面BEF⊥平面ABC．

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由AB⊥平面BCD，知AB⊥CD． 　　又由∠BCD＝90°，知CD⊥BC， 　　所以CD⊥平面ABC． 　　由＝，知EF∥CD， 　　所以EF⊥平面ABC． 　　因为EF平面BEF，所以平面BEF⊥平面ABC． 　　(2)解：由CD⊥平面ABC，知CD⊥BE． 　　又CD∥EF，所以BE⊥EF． 　　要使平面BEF⊥平面ACD， 　　只需BE⊥平面ACD，进而只需满足BE⊥AC． 　　由BC＝CD＝1，及∠BCD＝90°，得BD＝． 　　又∠ADB＝60°，及∠ABD＝90°，得AB＝． 　　在Rt△ABC中，AC＝＝． 　　因为∠ABC＝∠AEB＝90°，且∠BAC＝∠EAB， 　　所以△ABC∽△AEB，从而＝， 　　则AE＝＝，此时，λ＝＝． 　　故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD． 　　点评：线线垂直线面垂直面面垂直，这是一个基本的转化思路．对于两个平面垂直问题，同学们可以此为思路，用好判定定理．