Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx，当x=-

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时，f （x）取得极大值

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，并且函数y=f′（x）为偶函数．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象的切线斜率为7，求切线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用y=f′（x）为偶函数求出b，再利用当x=-

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时，f （x）取得极大值

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，找到关于a，c的方程解出a，c即可．
（Ⅱ）利用切线斜率就是对应导函数的值求出切点的横坐标，在代入原函数求出切点坐标即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+2bx+c为偶函数，∴f'（-x）=f'（x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，∴2bx=0对一切x∈R恒成立，
∴b=0，∴f（x）=ax³+cx．
又当x=-

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时，f（x）取得极大值

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．
∴

f(- 2 2 )= 2 3 f′(- 2 2 )=0

，解得

a= 2 3 c=-1

∴f（x）=

2

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x³-x，f?（x）=2x²-1．（6分）
（Ⅱ）设切点为（x₀，y₀），
则有2x₀²-1-7?x₀=±2，对应y=±

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．（9分）
所以切线方程为y=±

10

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=7（x±2），
化简得：y=7x±

32

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．（12分）

点评：本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．