Question

6．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A₁-BCD，如图2所示．
（Ⅰ）若M是A₁C的中点，求证：DM∥平面A₁EF；
（Ⅱ）若平面A₁BD⊥平面BCD，试判断直线A₁B与直线CD能否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥A₁F，由此能证明DM∥平面A₁EF．
（Ⅱ）推导出EF⊥平面A₁BD，从而A₁B⊥EF，假设A₁B⊥CD，则A₁B⊥平面BCD，A₁E⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线A₁B与直线CD不能垂直．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）取FC中点N．
在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，
所以DN∥EF．（2分）
在图2中，由M，N分别为A₁C，FC中点，
所以MN∥A₁F，（4分）
所以平面DMN∥平面A₁EF，（5分）
所以DM∥平面A₁EF．（6分）
解：（Ⅱ）直线A₁B与直线CD不可能垂直．（7分）
因为平面A₁BD⊥平面BCD，EF?平面BCD，EF⊥BD，
所以EF⊥平面A₁BD，（8分）
所以A₁B⊥EF．（9分）
假设有A₁B⊥CD，
注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，
则有A₁B⊥平面BCD．（1）（10分）
又因为平面A₁BD⊥平面BCD，A₁E?平面A₁BD，A₁E⊥BD，
所以A₁E⊥平面BCD．（2）（11分）
而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，
所以直线A₁B与直线CD不可能垂直．（13分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．