Question

16．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁
（2）求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积；
（3）求直线D₁C与面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由四棱柱的性质可得四边形BB₁D₁D为平行四边形，故有BD和B₁D₁平行且相等，可得 BD∥平面CB₁D₁．同理可证，A₁B∥平面CB₁D₁．而BD和A₁B是平面A₁BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）由题意可得A₁O为三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，由勾股定理可得A₁O 的值，再根据三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积V=S_△ABD•A₁O，运算求得结果．
（3）由D₁C∥A₁B，A₁O⊥平面ABCD，得∠A₁BO是直线D₁C与面ABCD所成角，由此能求出直线D₁C与面ABCD所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=$\sqrt{2}$，
∴由棱柱的性质可得BB₁ 和DD₁平行且相等，
∴四边形BB₁D₁D为平行四边形，∴BD$\underset{∥}{=}$B₁D₁．
∵BD?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，∴BD∥平面CB₁D₁．
同理可证，A₁BCD₁为平行四边形，A₁B∥平面CB₁D₁．
∵BD和A₁B是平面A₁BD内的两条相交直线，
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
解：（2）由题意可得A₁O为三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高．三角形A₁AO中，
由勾股定理可得A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积V=S_△ABD×A₁O=$\frac{A{B}^{2}}{2}$×A₁O=$\frac{2}{2}$×1=1．
（3）∵D₁C∥A₁B，A₁O⊥平面ABCD，
∴∠A₁BO是直线D₁C与面ABCD所成角，
∵底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=$\sqrt{2}$，
∴BO=AO=$\frac{1}{2}\sqrt{2+2}$=1，A₁O=$\sqrt{2-1}$=1，
∴∠A₁BO=45°，
∴直线D₁C与面ABCD所成角的余弦值为cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．