Question

11．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上任意一点，则|PA|+$\frac{5}{3}$|PB|的最小值为（　　）

• A． $\frac{25}{3}$
• B． $\frac{25}{6}$
• C． 4
• D． $\frac{19}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆的方程便可得出椭圆的离心率e=$\frac{3}{5}$，可设P到右准线的距离为d，则有$d=\frac{5}{3}|PB|$，从而得到$|PA|+\frac{5}{3}|PB|=|PA|+d$，而由图形可看出点A到右准线的距离为|PA|+d的最小值，这样便可得出|PA|+$\frac{5}{3}|PB|$的最小值．

解答 解：根据椭圆的标准方程知，a=5，b=4，c=3，∴离心率$e=\frac{3}{5}$，如图，设P到右准线的距离为d，则：
$\frac{|PB|}{d}$=$\frac{3}{5}$；
∴$d=\frac{5}{3}|PB|$；
∴$|PA|+\frac{5}{3}|PB|=|PA|+d$；
由图可看出，过A作右准线的垂线，当与椭圆的交点为P点时，|PA|+d=$\frac{25}{3}-2=\frac{19}{3}$最小；
即$|PA|+\frac{5}{3}|PB|$的最小值为$\frac{19}{3}$．
故选：D．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率及计算公式，椭圆的准线及准线方程，以及椭圆的第二定义，数形结合解题的方法．