Question

1．下列四个命题中
①命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”
②“x=4”是“x²-3x-4=0”的充分条件
③命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
④命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0．则m≠0且n≠0”
⑤对空间任意一点O，若满足$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，则P，A，B，C四点一定共面．
其中真命题的为①②⑤（将你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 直接写出命题的逆否命题判断①；由充分必要条件的判定方法判断②；举例说明③错误；写出命题的否命题判断④；由空间中四点共面的条件判断⑤．

解答 解：①命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”，故①正确；
②x=4⇒x²-3x-4=0；由x²-3x-4=0，解得：x=-1或x=4．
∴“x=4”是“x²-3x-4=0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x²+x-m=0有实根，则m＞0”，是假命题，如m=0时，方程x²+x-m=0有实根；
④命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0．则m≠0或n≠0”，故④错误；
⑤∵$\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$，∴对空间任意一点O，若满足$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，则P，A，B，C四点一定共面，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否命题和逆否命题，训练了充分必要条件的判定方法，考查利用向量法判断空间中四点共面的条件，属中档题．