已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,证明:对任意,.
(Ⅰ)分类讨论得到单调性 (Ⅱ)构造函数用导数的方法证明.
解析试题分析:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+),
当a≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单调增加;
当a≤-1时,<0, 故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a<0时,令=0,解得x=.当x∈(0, )时, >0;
x∈(,+)时,<0, 故f(x)在(0, )单调增加,在(,+)单调减少
(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.
所以等价于≥4x1-4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则+4=.
于是≤=≤0.
从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,
故对任意x1,x2∈(0,+) ,.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题,考查分类讨论思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,属难题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某企业有两个生产车间,分别位于边长是的等边三角形的顶点处(如图),现要在边上的点建一仓库,某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间,同时将成品运回仓库.已知叉车每天要往返车间5次,往返车间20次,设叉车每天往返的总路程为.(注:往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库)
(Ⅰ)按下列要求确定函数关系式:
①设长为,将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中一个合适的函数关系式,求总路程 的最小值,并指出点的位置.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米.
(1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且.
(1)写出年利润(万元)关于年产品(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
(注:年利润=年销售收入-年总成本)
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