Question

【题目】已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；

（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；
（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如图所示空间直角坐标系，

∵AB=4，AD=3，AA'=2；

∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）

则： =（4，3，2）， =（﹣4，3，0）

异面直线AC'和BD所成角的余弦值为： = =

（2）解：连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，

根据长方体的几何特征可得：

O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，

AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，

故O为AC'中点，

又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，

故O即为AC'与平面D'DBB'的交点

【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出两条线段的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的性质，可得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系)，还要掌握空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点)的相关知识才是答题的关键．