Question

已知二次函数f（x）=x²-kx-1，
（1）若k=2，试用定义法证明f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（2）求f（x）在区间[1，4]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把k=2代入函数的表达式，求出函数的解析式，设x₁＞x₂≥1，根据定义证明即可；
（2）先求出函数的对称轴，通过讨论k的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值．

解答： （1）证明：k=2时，f（x）=x²-2x-1，
设x₁＞x₂≥1，
∴f（x₁）-f（x₂）=x12-2x₁-1-x22+2x₂+1
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
∵x₁＞x₂≥1，
∴x₁-x₂≥0，x₁+x₂-2＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（2）解：∵对称轴x=

k

2

，
∴当

k

2

≥4，即k≥8时，f（x）在[1，4]递减，
∴f（x）_min=f（4）=15-4k，
当

k

2

≤1，即k≤2时，f（x）在[1，4]递增，
∴f（x）_min=f（1）=-k，
当1≤

k

2

≤4，即2≤k≤8时，
f（x）_min=f（k）=-1．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道综合题．