Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；

(2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；

(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

 

Answer 1

（1）x＝（2）（3）见解析

【解析】(1)【解析】
设点P(x，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，化简得x＝，故所求点P的轨迹为直线x＝.

(2)【解析】
将x1＝2，x2＝分别代入椭圆方程，以及y1>0，y2<0得M、N.直线MTA的方程为，即y＝x＋1.直线NTB的方程为，即y＝x－.联立方程组，解得所以点T的坐标为.

(3)证明：点T的坐标为(9，m)，直线MTA的方程为，即y＝(x＋3)．直线NTB的方程为，即y＝(x－3)．

分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x1≠－3，x2≠3，解得

M、N

(证法1)当x1≠x2时，直线MN的方程为，令y＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x1＝x2时，直线MN的方程为x＝1，与x轴交点为D(1，0)，所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)．

(证法2)若x1＝x2，则由及m>0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，

过点D(1，0)．若x1≠x2，则m≠2.直线MD的斜率kMD＝，

直线ND的斜率kND＝，得kMD＝kND，所以直线MN过D点．

因此，直线MN必过x轴上的点D(1，0)．