Question

（本小题满分14分）

       已知函数在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）求的取值范围；

   （Ⅲ）设，且的解集为（-∞，1），求实数的取值范围。

Answer 1

（本小题满分14分）

       解: （Ⅰ）∵f（x）=－x³+ax²+bx+c，∴．    1分

       ∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，

       ∴当x=0时，f（x）取到极小值，即．∴b=0．                 3分

（Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x³+ax²+c，

       ∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．    5分

       ∵的两个根分别为，．

       ∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在上有三个零点，

       ∴，即．      7分

       ∴．

       故f（2）的取值范围为．       9分

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且．

       ∵1是函数的一个零点，∴，

       ∵∴，

       ∴点是函数和函数的图像的一个交点．     10分

       结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．

       即方程组（１）只有一个解．      11分

       由，得．

       即．

       即．

       ∴或．   12分

       由方程， （２）

       得．∵，

       当，即，解得         13分

       此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解．

       所以时，的解集为． 14分

（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且．

       ∵1是函数的一个零点

      

       又的解集为，

           10分

               11分

              12分

      

         14分