Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

16

=1，离心率为

3

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过a＞4的椭圆的右焦点F任作一条斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，问在F右侧是否存在一点D（m，0），连AD、BD分别交直线x=

25

3

于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过F，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

16

=1，离心率为

3

5

，易知a=5，可得求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB的方程为y=k（x-3），代入

x2

25

+

y2

16

=1，利用韦达定理，结合

FM

•

FN

=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

16

=1，离心率为

3

5

，易知a=5，椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1或

y2

16

+

25x2

256

=1 …4分
（Ⅱ）存在m=5，理由如下：由题知，F（3，0）．
设AB的方程为y=k（x-3）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线代入

x2

25

+

y2

16

=1，可得（16+25k²）x²-150k²x+225 k²-400=0
∴x₁+x₂=

150k2

16+25k2

，x₁x₂=

225k2-400

16+25k2

；y₁y₂=-

256k2

16+25k2

----------------------6分
设M（

25

3

，y₃），N（

25

3

，y₄），由M、A、D共线，y₃=

(3m-25)y1

3(m-x1)

，同理y₄=

(3m-25)y2

3(m-x2)

…8分
又

FM

=（

16

3

，y₃），

FN

=（

16

3

，y₄），由已知得

FM

•

FN

=0得y₃y₄=-

256

9

，
∴

(3m-25)y1

3(m-x1)

•

(3m-25)y2

3(m-x2)

=-

256

9

，
∴（1+k²）（16m²-400）=0，
∴m=±5，
∵m＞3，∴m=5 …12分

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．