Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点，
(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
(3)求点B到平面PDE的距离．

Answer 1

解：如图， (1)设AC与DE交于点G，延长DE交CB的延长线于点F， 则易得△DAE≌△FBE， ∴BF=AD=1，∴CF=4， ∴， 又∵， ∴∠BFE=∠ACD， 又∵∠ACD+∠ACF=90°， ∴∠BFE+∠ACF=90°， ∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE， 又∵PC⊥底面ABCD， ∴PC⊥DE， ∴DE⊥平面PAC， ∵DE平面PDE， ∴平面PDE⊥平面PAC。 (2)连接PG，过点C作CH⊥PG于H点， 则由(1)知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线， 根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE， 从而∠CPH，即∠CPG为直线PC与平面PDE所成的角， 在Rt△DCA中，， 在Rt△PCG中，， 所以，即直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为。 (3)由，可知点B到平面PDE的距离等于 点C到平面PDE的距离的，即CH， 在Rt△PCG中，， 从而点B到平面PDE的距离等于。