Question

我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:

方案一:等速螺线,如图2-4-6中图(1).图中画出了关于点O对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).

图2-4-6

方案二:圆的渐开线,如图2-4-6(2).图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线(以下同).

受方案二的启示,可得.

方案三:正方形的渐开线,如图2-4-6(3).

请根据图(2)和图(3)写出图(2)和图(3)对应曲线的方程.

Answer 1

思路分析：本探究目的在于探讨数学的美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.

解：在方案二中,建立如题图中图(2)所示的直角坐标系,圆弧的参数方程为

(取基圆的半径r=1,≤φ＜1).

曲线的参数方程为(φ为参数,且φ≥1).

在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连结的,建立如题图中图(3)所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段由下列方程构成(式中n∈N,以下同):

(x-)²+(y-)²=(0≤x＜1,≤y＜0);

x²+(y-1)²=2(4n-3)²,〔4n－3≤x＜(4n-3),-4n+4≤y＜4n-2〕;

(x+1)²+y²=2(4n-2)²〔-4n+1≤x＜4n-3,4n-2≤y＜(4n-2)〕;

x²+(y+1)²=2(4n-1)²〔-(4n-1)≤x＜-4n+1,-4n≤y＜4n-2〕;

(x-1)²+y²=2(4n)²〔-4n+1≤x＜4n+1,-4n≤y＜-4n〕.