Question

如图A、B、C为函数y=log

1

3

x的图象上的三点，它们的横坐标分别是t、t+2、t+4，（t≥1）
（1）设△ABC的面积为s，求s=f（t）；
（2）判断函数s=f（t）的单调性；
（3）求函数s=f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到A、B、C的坐标，根据图象可得△ABC的面积为S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根据相应的面积公式，代入相关数据，化简运算即可得到答案；
（2）根据（1）中所求的表达式，利用复合函数的单调性的性质，判断即可得到答案；
（3）根据（2）中所得的函数的单调性，利用单调性，即可求得三角形面积的最大值．

解答：解：（1）∵A、B、C为函数y=log

1

3

x的图象上的三点，它们的横坐标分别是t、t+2、t+4，（t≥1）
∴A（t，log

1

3

t），（t+2，log

1

3

(t+2)），（t+4，log

1

3

(t+4)），
过A、B、C分别作AE、BF、CN垂直于x轴，垂足为E、F、N，
由图象可得，△ABC的面积为S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，
∴S=

1

2

[-log

1

3

t-log

1

3

(t+2)]×[（t+2）-t]+

1

2

[-log

1

3

(t+2)-log

1

3

(t+4)]×[（t+4）-（t+2）]-

1

2

[-log

1

3

t-log

1

3

(t+4)]×[（t+4）-t]
=-[log

1

3

t+log

1

3

(t+2)]-[log

1

3

(t+2)+log

1

3

(t+4)]+2[log

1

3

t+log

1

3

(t+4)]
=-log

1

3

(t2+2t)-log

1

3

(t2+6t+8)+log

1

3

(t2+4t)2
=log

1

3

t2+4t

(t+2)2

=log

1

3

(1+

4

t2+4t

)，t≥1，
∴△ABC的面积为S=log

1

3

(1+

4

t2+4t

)（t≥1）；
（2）∵S=log

1

3

(1+

4

t2+4t

)（t≥1），
∴函数S是由μ=1+

4

t2+4t

和S=log

1

3

μ复合而成的复合函数，
又y=t²+4t在[1，+∞）上是增函数，且y≥5，
∴μ=1+

4

t2+4t

在[5，+∞）上是减函数，且1＜μ＜

9

5

，
∴S=log₃μ在(1，

9

5

]上是增函数，
∴复合函数S=f(t)=log3(1+

4

t2+4t

)在[1，+∞）上是减函数；
（3）由（2）知，S=f(t)=log3(1+

4

t2+4t

)在[1，+∞）上是减函数，
∴当t=1时，S取最大值f（1），
又f(1)=log3

9

5

=2-log35，
∴函数s=f（t）的最大值为2-log₃5．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，函数的值域的求解．考查了对数的运算以及对数函数的单调性的应用，对于指数与对数函数的问题，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究函数的图象和性质．属于中档题．