Question

10．若直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直，则二项式（ax²-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中x⁴的系数为80．

Answer 1

分析 直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得a．则二项式（ax²-$\frac{1}{x}$）⁵化为$（2{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{5}$，可得T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x²）^r$（-\frac{1}{x}）^{5-r}$=（-1）^5-r2^r${∁}_{5}^{r}$x^3r-5．
令3r-5=4，解得r即可得出．

解答 解：∵直线x+ay-1=0与2x-y+5=0垂直，
∴-$\frac{1}{a}$×2=-1，
解得a=2．
则二项式（ax²-$\frac{1}{x}$）⁵化为$（2{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{5}$，
∴T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x²）^r$（-\frac{1}{x}）^{5-r}$=（-1）^5-r2^r${∁}_{5}^{r}$x^3r-5．
令3r-5=4，解得r=3．
∴T₄=8${∁}_{5}^{3}$•x⁴=80x⁴．
∴展开式中x⁴的系数为80．
故答案为：80．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．