Question

已知过A（0，1），B（1，2）的圆C的圆心在第一象限，且弧AB对的圆周角为．
（1）求圆C的方程．
（2）若D（2，-1），求∠ADB的角平线的方程．
（3）若直线y=x+b，（-2≤b≤-1），求直线扫过圆的面积．

Answer 1

解：（1）由题意可得圆C的圆心在第一象限且在线段AB的中垂线上，且弧AB对的圆心角为 ．
又AB的中点M（，），AB的斜率等于=1，故AB的中垂线方程为y-=-1•（x-），
即x+y-2=0．
故可设C（a，2-a），再由AC⊥BC可得 •=-1，解得a=1，
故圆心C（1，1），半径等于|CA|==1，
故圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）设∠ADB的角平线的斜率等于k，由于DB的斜率k₁==-3，DA的斜率k₂==-1．
由题意可得DB到∠ADB的角平线的角等于∠ADB的角平分线到DA的角，
故有=，解得 k=（舍去），k=，
∴∠ADB的角平线的方程 y+1=（x-2），即（+1）x+2y-2=0．
（3）当b=-1时，直线直线y=x+b 即x-y-1=0，圆心C到直线的距离等于=，
截圆得到的弦长为 MN=2=，故∠MCN=．
b=-2 时，直线直线y=x-2 即x-y-2=0，圆心C到直线的距离等于 = 大于半径，
此时直线和圆相离．
直线扫过的面积是一个弓形，其面积等于扇形MCN的面积减去等腰直角三角形MCN的面积，
即 =．

分析：（1）由题意可得圆C的圆心在第一象限且在线段AB的中垂线上，根据线段AB的中垂线方程设出圆心C 的坐标，再根据
AC⊥BC，斜率之积等于-1求出圆心C 的坐标，进而得到半径，由此求得圆C的方程．
（2）根据DB到∠ADB的角平线的角等于∠ADB的角平分线到DA的角，可得=，解得∠ADB的角平分线 k 的值，用点斜式求出∠ADB的角平线的方程．
（3）当b=-1时，求出截圆得到的弦长为 MN 的值，可得∠MCN=．b=-2 时，直线和圆相离，直线扫过的面积是一个弓形，其面积等于扇形MCN的面积减去等腰直角三角形MCN的面积．
点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．