Question

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，动点P（a，b）在不等式组

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域的内部及边界上运动，则
（1）不等式组所确定的平面区域的面积为1；
（2）使得目标函数z=b-a取得最大值的最优解有且仅有一个；
（3）目标函数ω=

b-2

a-1

的取值范围是[-2，2]；
（4）目标函数p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
上述说法中正确的是______（写出所有正确选项）

Answer 1

∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，
∴k=1，又圆心(-

k

2

，-

m

2

)在直线x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式组变为

x-y+2≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式组表示的平面区域，
（1）△AOB为不等式所表示的平面区域，
联立

y=-x y=x+2

解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-2|×|-1|=1．
故（1）正确；
（2）作出目标函数z=b-a平行的直线，将其平移
当直线z=b-a过直线x-y+2=0上的任一点时，z最大，
故（2）错；
（3）如图
又因为ω=

b-2

a-1

表示点P（a，b）与点（1，2）连线的斜率．
故当过点B（-1，1）时，ω=

b-2

a-1

取最小值-

1

2

．
当过O（0，0）时，ω=

b-2

a-1

取最大值2．
故答案为：[-

1

2

，2]．故（3）错；
（4）p=a²+b²-2b+1=a²+（b-1）²-表示区域内的点N到点M（0，1）的距离的平方，
由图得：只有当过M作直线x+y=0的垂线时，M（0，1）到平面区域内任一点的距离才最小．
而M与直线x+y=0的距离为：d=

|0+1|

12+12

=

1

2

．
∴|d|²=

1

2

．即目标函数p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
故（4）正确．
故答案为：（1），（4）．