Question

（2013•东城区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，原点到过点A（a，0），B（0，b）的直线的距离是

4 5

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上一动点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），求x₁²+y₁²的取值范围．
（3）如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

c

a

，a²=b²+c²，及其点到直线的距离公式即可得到a，b；
（2）利用轴对称即可得到点P（x₀，y₀）与其对称点P₁（x₁，y₁）的坐标之间的关系，再利用点P（x₀，y₀）满足椭圆C的方程：

x2

16

+

y2

4

=1得到关系式，进而即可求出；
（3）设E（x₂，y₂），F（x₃，y₃），EF的中点是M（x_M，y_M），则BM⊥EF得到关系式，把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
∴a=2b．
∵原点到直线AB：

x

a

-

y

b

=1的距离d=

ab

a2+b2

=

4 5

5

，
解得a=4，b=2．
故所求椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为点P₁（x₁，y₁），
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

解得 x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4x0

5

．
∴

x

2 1

+

y

2 1

=

x

2 0

+

y

2 0

．
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1上，
∴

x

2 1

+

y

2 1

=

x

2 0

+

y

2 0

=4+

3

4

x

2 0

．
∵-4≤x₀≤4，∴4≤

x

2 1

+

y

2 1

≤16．
∴

x

2 1

+

y

2 1

的取值范围为[4，16]．
（3）由题意

y=kx+1 x2+4y2=16

消去y，整理得（1+4k²）x²+8kx-12=0．
可知△＞0．
设E（x₂，y₂），F（x₃，y₃），EF的中点是M（x_M，y_M），
则x2+x3=-

8k

1+4k2

，
则xM=

x2+x3

2

=-

4k

1+4k2

，y_M=kx_M+1=

1

1+4k2

．
∴kBM=

yM+2

xM

=-

1

k

．
∴x_M+ky_M+2k=0．
即

-4k

1+4k2

+

k

1+4k2

+2k=0．
又∵k≠0，
∴k2=

1

8

．
∴k=±

2

4

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法，熟悉解题模式是解题的关键．