Question

（2013•东城区二模）已知函数f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值；
（3）讨论关于x的方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

的实根情况．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；
（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤

1

2

后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；
（3）把f（x）=lnx+

a

x

代入f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，整理后得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

，讨论原方程的根的情况，即讨论方程b=lnx-

1

2

x2+

1

2

的根的情况，引入辅助函数h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）的定义域为（0，+∞），
则f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
因为a＞0，由f^′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f^′（x）＜0得x∈（0，a），
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（Ⅱ）由题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k满足
k=f′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

（x₀＞0），
所以a≥-

1

2

x02+x0对x₀＞0恒成立．
又当x₀＞0时，-

1

2

x02+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
所以a的最小值为

1

2

．
（Ⅲ）由f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，即lnx+

a

x

=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

．
化简得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

（x∈（0，+∞））．
令h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，则h′(x)=

1

x

-x=

(1+x)(1-x)

x

．
当x∈（0，1）时，h^′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，h^′（x）＜0，
所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h(1)=ln1-

1

2

×12-b+

1

2

=-b．
所以 
 当-b＞0，即b＜0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有两个实根，
当b=0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有一个实根，
当b＞0时，y=h（x） 的图象与x轴无交点，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

无实根．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在求最值中的应用，训练了分离变量法求参数的取值范围，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想，属难度稍大的题型．