Question

18．若P为△ABC内一点，且满足$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=0，则△ABC的面积与△APC的面积之比为1：3．

Answer 1

分析 可延长PB到B′，延长PC到C′，并分别使PB′=2PB，PC′=3PC，从而根据条件便得到：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB′}+\overrightarrow{PC′}=\overrightarrow{0}$，这便说明P为△AB′C′的重心．这便得到三角形PAB′，三角形PB′C′，及三角形PC′A的面积都相等，设为S，从而会得到S_△ABC=S，${S}_{△APC}=\frac{1}{3}S$，这样便可求出△ABC的面积与△APC的面积之比．

解答 解：如图，延长PB至PB'，使PB'=2PB，延长PC至PC'，使PC'=3PC，并连接AB′，B′C′，C′A，则：

$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB′}+\overrightarrow{PC′}=\overrightarrow{0}$；
∴P是△AB′C′的重心；
∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三个三角形的面积相等，记为S；
∴${S}_{△APB}=\frac{S}{2}，{S}_{△APC}=\frac{S}{3}，{S}_{BPC}=\frac{S}{6}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+\frac{S}{6}=S$；
∴S_△APC：S_△ABC=1：3．
故答案为：1：3．

点评 考查向量数乘的几何意义，三角形重心和三顶点构成向量的和为零向量，以及三角形的面积公式．