Question

设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.

Answer 1

解析：要求的函数是二次函数，一般可设其为f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)，然后根据已知条件求出系数a、b、c，从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称，故可设函数f(x)＝a(x-2)²+k.

答案：∵f(2+x)＝f(2-x)，

∴f(x)的图象关于直线x=2对称.?

于是，设f(x)＝a(x-2)²+k(a≠0)，则由f(0)＝3，可得k＝3-4a，

∴f(x)＝a(x-2)²+3-4a＝ax²-4ax+3.

∵ax²-4ax+3＝0的两实根的平方和为10，?

∴10＝x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2x₁x₂＝16-.?

∴a=1.?

∴f(x)＝(x-2)²-1＝x²-4x+3.