Question

椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N，且满足＝，·＝0，求直线l的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆方程为＋＝1.

（2）直线方程为y＝±x－2.

【解析】解：(1)设c＝，依题意

得即

∴a²＝3b²＝12，即椭圆方程为＋＝1.

(2)∵＝，·＝0，∴AP⊥MN，

且点P是线段MN的中点，由消去y得x²＋3(kx－2)²＝12，

即(1＋3k²)x²－12kx＝0，(*)

由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)²＝144k²>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．

设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，线段MN的中点P(x₀，y₀)，

则x₁＋x₂＝，∴x₀＝＝.

∴y₀＝kx₀－2＝＝，即P.

∵k≠0，∴直线AP的斜率为

k ₁＝＝. 由MN⊥AP，得·k＝－1，

∴2＋2＋6k²＝6，解得k＝±， 故直线方程为y＝±x－2.